Sistema de Equações: Método da Adição, Exercícios Resolvidos

O estudo de sistemas de equações é fundamental na matemática, pois permite resolver problemas que envolvem múltiplas incógnitas de forma eficiente. Entre os diversos métodos para solucionar esses sistemas, o método da adição (também conhecido como método de adição ou método de eliminação) destaca-se pela sua praticidade e rapidez. Neste artigo, exploraremos detalhadamente como aplicar o método da adição, apresentaremos exercícios resolvidos, dicas para melhorar seu entendimento e responderemos às perguntas mais frequentes sobre o tema.

O que é um sistema de equações?

Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que envolvem variáveis comuns. O objetivo ao resolver um sistema é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Exemplo de sistema de equações:

[\begin{cases}2x + 3y = 12 \x - y = 1\end{cases}]

A solução desse sistema fornece valores específicos para (x) e (y) que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Método da Adição: Conceito e passos

O método da adição consiste em manipular as equações presenciais do sistema para eliminar uma variável, obtendo uma equação com uma única incógnita. Para isso, é necessário ajustar as equações para que as variáveis a serem eliminadas tenham coeficientes iguais (em valor absoluto) mas sinais opostos.

Passos para aplicar o método da adição:

1. Organize as equações: escreva o sistema em forma padrão, com as variáveis alinhadas.
2. Multiplique as equações: se necessário, multiplique uma ou ambas as equações por números adequados para obter coeficientes iguais e de sinais opostos na variável a eliminar.
3. Some ou subtraia as equações: isso eliminará uma variável.
4. Resolva a equação resultante: encontre o valor de uma variável.
5. Substitua na equação original: para encontrar o valor da outra variável.
6. Verifique a solução: substitua os valores obtidos em ambas as equações originais para confirmar.

Exercícios resolvidos com o método da adição

A seguir, apresentamos exemplos detalhados do uso do método da adição, com todos os passos explicados.

Exercício 1

Resolva o sistema:

[\begin{cases}3x + 2y = 16 \4x - y = 9\end{cases}]

Passo 1: Organize as equações:

[\begin{cases}3x + 2y = 16 \quad \text{(1)} \4x - y = 9 \quad \text{(2)}\end{cases}]

Passo 2: Ajustar para eliminar uma variável.

Vamos eliminar (y). Para isso, precisamos que os coeficientes de (y) tenham valores iguais em módulo, mas sinais opostos. Multiplicamos a equação (2) por 2:

[(2) \times 2 \Rightarrow 8x - 2y = 18]

Agora, temos:

[\begin{cases}3x + 2y = 16 \quad \text{(1)} \8x - 2y = 18 \quad \text{(2')} \end{cases}]

Passo 3: Some as equações para eliminar (y):

[(3x + 2y) + (8x - 2y) = 16 + 18 \Rightarrow 11x = 34]

Passo 4: Resolva para (x):

[x = \frac{34}{11}]

Passo 5: Substitua (x) na equação (2):

[4 \times \frac{34}{11} - y = 9 \Rightarrow \frac{136}{11} - y = 9]

Multiplicando ambos os lados por 11:

[136 - 11y = 99]

[-11y = 99 - 136 \Rightarrow -11y = -37]

[y = \frac{-37}{-11} = \frac{37}{11}]

Solução final:

[x = \frac{34}{11}, \quad y = \frac{37}{11}]

Exercício 2

Resolva o sistema:

[\begin{cases}2a + 3b = 7 \4a - 5b = -3\end{cases}]

Passo 1: Organização das equações:

[\begin{cases}2a + 3b = 7 \quad \text{(1)} \4a - 5b = -3 \quad \text{(2)}\end{cases}]

Passo 2: Para eliminar (a), multiplicamos a equação (1) por 2:

[(1) \times 2 \Rightarrow 4a + 6b = 14]

Agora:

[\begin{cases}4a + 6b = 14 \quad \text{(1')} \4a - 5b = -3 \quad \text{(2)}\end{cases}]

Passo 3: Subtraímos (2) de (1'):

[(4a + 6b) - (4a - 5b) = 14 - (-3)]

[4a + 6b - 4a + 5b = 17]

[11b = 17]

[b = \frac{17}{11}]

Passo 4: Substituímos (b) na equação (1):

[2a + 3 \times \frac{17}{11} = 7]

Multiplicando tudo por 11 para eliminar denominadores:

[22a + 3 \times 17 = 77]

[22a + 51 = 77]

[22a = 77 - 51 = 26]

[a = \frac{26}{22} = \frac{13}{11}]

Solução final:

[a = \frac{13}{11}, \quad b = \frac{17}{11}]

Tabela de passos do método da adição

Perguntas frequentes (FAQs)

Qual a vantagem do método da adição?

O método da adição é eficiente para sistemas lineares de duas ou mais variáveis, especialmente quando os coeficientes das variáveis podem ser facilmente ajustados para se eliminarem. Ele evita o uso de fórmulas complexas e facilita a visualização do processo de resolução.

Posso usar o método da adição em qualquer sistema?

Este método funciona melhor quando os coeficientes das variáveis podem ser ajustados para serem iguais e opostos por multiplicação. Sistemas com coeficientes complexos podem exigir outros métodos, como substituição ou matriz.

Como evitar erros ao aplicar o método da adição?

Para evitar erros, sempre:

• Organize corretamente as equações,
• Ajuste os coeficientes com multiplicações precisas,
• Verifique suas operações de soma ou subtração,
• Substitua os valores cuidadosamente na equação original.

É possível resolver sistemas com mais de duas equações pelo método da adição?

Sim, mas o processo torna-se mais complexo à medida que o número de equações aumenta. Para sistemas maiores, algoritmos matriciais ou o método de Gauss-Jordan podem ser mais eficientes.

Conclusão

O método da adição é uma técnica fundamental para resolver sistemas lineares de equações. Sua aplicação exige atenção aos detalhes, ajustes nos coeficientes e cuidado na substituição das variáveis. Como destacado por diversos autores de matemática, "a prática leva à perfeição", e resolver exercícios resolvidos é uma excelente estratégia para aprimorar o entendimento.

Com o domínio deste método, você consegue resolver problemas matemáticos tanto em contextos acadêmicos quanto na vida cotidiana, onde problemas envolvendo múltiplas variáveis e condições precisam ser solucionados de forma eficiente.

Referências

• Matemática Básica para Concursos – Fernando M. de Oliveira. Editora Atual.
• Algoritmos para Sistemas Lineares – José R. C. A. Almeida e Carla P. V. Rodrigues. Revista de Matemática da UFMG.
• Khan Academy – Sistemas de Equações Lineares
• Matemática.net – Sistema de Equações Lineares

Quer evoluir ainda mais seus conhecimentos em matemática? A prática contínua e a busca por exercícios resolvidos podem fazer toda a diferença!