MDBF Quantos Pares de Fatores Diferentes 72 Tem no Total: Guia Completo
Calcular quantos pares de fatores diferentes o número 72 possui é uma dúvida comum em estudos de matemática, especialmente em tópicos relacionados à fatoração e divisibilidade. Conhecer os fatores de um número e suas combinações é fundamental para compreender melhor as propriedades dos números inteiros e suas aplicações na vida prática e em problemas acadêmicos.
Neste artigo, exploraremos detalhadamente a questão "quantos pares de fatores diferentes 72 tem", abordando conceitos básicos de fatoração, apresentando uma análise completa e organizada, além de oferecer dicas e respostas às perguntas mais frequentes sobre o tema. Se você deseja entender de forma clara e prática como determinar os pares de fatores de 72, continue a leitura.
O que são fatores e pares de fatores?
Antes de avançarmos para os detalhes específicos de 72, é importante entender o que são fatores de um número.
Definição de fatores
Fatores de um número inteiro são aqueles que, quando multiplicados, resultam no próprio número. Por exemplo, os fatores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Ou seja, qualquer número que divida 12 sem deixar resto é um fator de 12.
Pares de fatores
Pares de fatores de um número são as combinações de dois fatores que, multiplicados, resultam no número original. Por exemplo, para o número 12, temos os seguintes pares de fatores:
| Par de fatores | Multiplicação | Resultado |
|---|---|---|
| 1 e 12 | 1 × 12 | 12 |
| 2 e 6 | 2 × 6 | 12 |
| 3 e 4 | 3 × 4 | 12 |
Note que contamos cada par apenas uma vez, considerando que a ordem não importa neste contexto.
Como determinar os fatores de 72
Para determinar os fatores de 72, primeiramente vamos fatorar o número em seus fatores primos.
Fatoração prima de 72
A fatoração prima de 72 é:
[ 72 = 2^3 \times 3^2 ]
Ou seja, 72 é o produto de três fatores 2 e dois fatores 3, com as respectivas potências.
Lista de fatores de 72
Utilizando a fatoração prima, podemos listar todos os fatores de 72. Eles são todos os divisores que podem ser formados multiplicando combinações de 2^a e 3^b, onde a varia de 0 a 3 e b de 0 a 2.
| Valores de a | Valores de b | Fator |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 2 |
| 2 | 0 | 4 |
| 3 | 0 | 8 |
| 0 | 1 | 3 |
| 1 | 1 | 6 |
| 2 | 1 | 12 |
| 3 | 1 | 24 |
| 0 | 2 | 9 |
| 1 | 2 | 18 |
| 2 | 2 | 36 |
| 3 | 2 | 72 |
Portanto, os fatores de 72 são:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Quantos pares de fatores diferentes 72 possui?
Sabemos que os fatores de 72 são esses 12 números listados acima. Agora, o objetivo é determinar quantos pares de fatores diferentes resultam na multiplicação de 72.
Contando os pares de fatores diferentes
Para cada fator, encontramos seu parceiro correspondente, de modo que:
[ f \times p = 72 ]
Vamos fazer essa análise:
| Fator | Parceiro (fator que, ao multiplicar por ele, dá 72) | Par de fatores de 72 (sem repetir) |
|---|---|---|
| 1 | 72 | (1, 72) |
| 2 | 36 | (2, 36) |
| 3 | 24 | (3, 24) |
| 4 | 18 | (4, 18) |
| 6 | 12 | (6, 12) |
| 8 | 9 | (8, 9) |
Observe que, embora 18 seja um fator de 72 e seu parceiro seja 4, já contamos o par (4, 18) quando listamos 4 e seu parceiro 18. Como os pares de fatores de um número são considerados em conjuntos onde a ordem não importa (pois (4, 18) é o mesmo que (18, 4)), podemos contar esses pares apenas uma vez.
Total de pares de fatores diferentes de 72
Com base na lista acima, temos exatamente 6 pares de fatores diferentes de 72:
- (1, 72)
- (2, 36)
- (3, 24)
- (4, 18)
- (6, 12)
- (8, 9)
Portanto, o número 72 possui 6 pares de fatores diferentes.
Importante
Vale destacar que cada par considerado é composto por fatores diferentes; em alguns casos, o fator e seu parceiro podem ser iguais, como no caso de 8 e 9, ou, na prática, quando o fator e o parceiro forem iguais, o par resultaria de um número quadrado perfeito. Como 72 não é um quadrado perfeito, não há pares com fatores iguais.
Tabela de pares de fatores de 72
| Par de fatores | Multiplicação | Resultado |
|---|---|---|
| (1, 72) | 1 × 72 | 72 |
| (2, 36) | 2 × 36 | 72 |
| (3, 24) | 3 × 24 | 72 |
| (4, 18) | 4 × 18 | 72 |
| (6, 12) | 6 × 12 | 72 |
| (8, 9) | 8 × 9 | 72 |
Perguntas Frequentes
Quantos fatores o número 72 possui?
O número 72 possui 12 fatores diferentes, que são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 e 72.
Como determinar quantos pares de fatores diferentes um número possui?
Para determinar os pares de fatores, você deve listar todos os fatores do número, combinar cada fator com seu parceiro correspondente de modo que o produto seja o próprio número, e considerar apenas pares onde o primeiro fator seja menor ou igual ao segundo para evitar repetições.
O número 72 possui fatores repetidos em seus pares?
Não. Todos os pares de fatores de 72 são formados por fatores diferentes. Além disso, fatores repetidos só ocorreriam em números que são quadrados perfeitos, o que não é o caso de 72.
Como usar a fatoração prima para encontrar pares de fatores?
A fatoração prima ajuda a listar fatores sistematicamente, combinando as potências de fatores primos possíveis. Essa técnica permite identificar todos os divisores de maneira eficiente.
Conclusão
O número 72 possui um total de 12 fatores diferentes, distribuídos em 6 pares de fatores distintos, que multiplicados resultam em 72. Essa análise demonstra uma aplicação prática da fatoração prima e da teoria dos divisores, proporcionando uma compreensão sólida ao estudante de matemática.
Entender a decomposição de números e a sua relação com fatores é fundamental para diversos campos da matemática, como álgebra, teoria dos números e, até mesmo, na resolução de problemas do cotidiano.
Referências
Cite este artigo
"A compreensão dos fatores de um número é uma das bases da matemática, essencial para desenvolver raciocínio lógico e habilidades de resolução de problemas."
— Anônimo
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