Grandezas Inversamente Proporcionais: Exercícios 7º Ano com Gabarito

A matemática está presente em diversas situações do nosso cotidiano, facilitando a compreensão do mundo ao nosso redor. Um conceito fundamental na teoria das proporções é o de grandezas inversamente proporcionais. Para estudantes do 7º ano, compreender esse tema é essencial para avançar nos estudos de matemática e aplicações práticas.

Neste artigo, exploraremos o conceito de grandezas inversamente proporcionais, apresentaremos exercícios resolvidos com gabarito, dicas de estudo e exemplos do dia a dia. Além disso, abordaremos perguntas frequentes, fornecendo um conteúdo completo para ajudar na compreensão e fixação do tema.

O que são grandezas inversamente proporcionais?

Definição

Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, ao aumentarmos uma delas, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa. Matematicamente, podemos expressar essa relação da seguinte forma:

Quando ( x ) e ( y ) são grandezas inversamente proporcionais, então:

[x \times y = k]

onde ( k ) é uma constante.

Exemplos do cotidiano

• A velocidade e o tempo de viagem: quanto maior a velocidade, menor será o tempo necessário para percorrer uma determinada distância.
• Trabalho e tempo de uma tarefa: se uma pessoa leva mais tempo para realizar uma tarefa, uma outra pessoa pode fazer a mesma tarefa em menos tempo, proporcionalmente.

Como identificar grandezas inversamente proporcionais?

Critérios principais

Para verificar se duas grandezas são inversamente proporcionais:

1. Multiplicação constante: ao multiplicar as grandezas, o resultado deve ser sempre o mesmo valor (constante).
2. Razão inversa: a razão de uma grandeza pela outra diminui na mesma proporção em que uma delas aumenta.

Exemplo simples

Como o produto é sempre 12, podemos concluir que ( x ) e ( y ) são grandezas inversamente proporcionais.

Exercícios de grandezas inversamente proporcionais – 7º ano com gabarito

Exercício 1

Se um carro percorre uma distância de 240 km em 4 horas, qual é o tempo necessário para percorrer a mesma distância se a velocidade for aumentada em 50 km/h? Considere ( v_1 = 60\, \text{km/h} ).

Resposta:

Primeiro, calculamos a velocidade inicial:

[v_1 = \frac{d}{t_1} = \frac{240}{4} = 60\, \text{km/h}]

A nova velocidade ( v_2 ):

[v_2 = v_1 + 50 = 60 + 50 = 110\, \text{km/h}]

Se as grandezas de interesse são o tempo e a velocidade, temos uma relação inversamente proporcional entre elas:

[t \propto \frac{1}{v}]

Assim,

[t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{240}{110} \approx 2,18\, \text{h}]

Gabarito: Aproximadamente 2 horas e 11 minutos.

Exercício 2

Vamos observar o seguinte problema: Três amigos, Ana, Bruno e Carla, estão dividindo uma tarefa. Se Ana demora 6 horas para completá-la, e eles querem que Bruno, que trabalha a uma velocidade duas vezes maior que a de Ana, termine a tarefa em 2 horas. Qual será o tempo que Carla levará se ela trabalha a uma velocidade três vezes menor que a de Ana?

Resposta:

Passo 1: Velocidade de Ana: ( v_A ). Tempo: 6 horas.

Passo 2: Bruno trabalha duas vezes mais rápido, então:

[v_B = 2 v_A]

O tempo de Bruno (( t_B )) para terminar a tarefa:

[t_B = 2\, \text{h}]

Como as grandezas são inversamente proporcionais às velocidades:

[t \propto \frac{1}{v}]

Logo:

[v_A : v_B = t_B : t_A][v_A : 2 v_A = 2 : 1][t_A : t_B = v_B : v_A = 2 : 1]

Como Ana demora 6 horas, Bruno demora:

[t_B = \frac{6}{2} = 3\, \text{h}]

Porém, o enunciado informa que Bruno trabalha em 2 horas, então há uma inconsistência, provavelmente um erro na formulação do problema. Mas, seguindo o princípio, podemos resolver a terceira parte:

Velocidade de Carla:

[v_C = \frac{v_A}{3}]

Logo, o tempo de Carla:

[t_C = \frac{t_A \times v_A}{v_C} = 6 \times 3 = 18\, \text{h}]

Gabarito: Carla levará 18 horas para concluir a tarefa.

Tabela de relação entre grandezas inversamente proporcionais

Dicas para estudar grandezas inversamente proporcionais

• Pratique bastante: resolva exercícios diversos, focando na identificação do produto constante.
• Use a tabela de proporções: ela facilita na visualização e resolução de problemas.
• Reforce o conceito de multiplicação: lembre-se de que, em grandezas inversamente proporcionais, o produto é uma constante.
• Leia atentamente os enunciados: muitas vezes, o sucesso na resolução depende de compreender bem a questão.

Perguntas frequentes

1. Como diferenciar grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

• Diretamente proporcionais: quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção (( x \propto y )). O produto ( x \times y ) não é constante.
• Inversamente proporcionais: quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção (( x \times y = k )). O produto é constante.

2. Posso usar uma regra de três simples para resolver problemas de grandezas inversamente proporcionais?

Sim. Para grandezas inversamente proporcionais, utilize uma regra de três em forma de multiplicação cruzada com o produto constante. Lembre-se de que:

[x_1 y_1 = x_2 y_2]

3. Quais exemplos do dia a dia refletem grandezas inversamente proporcionais?

• Velocidade e tempo de deslocamento.
• Área de uma figura e o comprimento de suas dimensões em escalas diferentes.
• Número de operários e o tempo de uma obra.

Conclusão

As grandezas inversamente proporcionais são um conceito fundamental na matemática, especialmente na resolução de problemas do cotidiano que envolvem velocidade, trabalho, tempo e escala. Compreender essa relação e saber aplicar as fórmulas corretas ajuda a tornar o estudo mais eficaz e a desenvolver o raciocínio lógico.

Para facilitar o entendimento, é importante praticar exercícios com diferentes níveis de dificuldade, usando exemplos reais e tabelas de relacionamento. Independentemente do nível de conhecimento, o entendimento das grandezas inversamente proporcionais é uma ferramenta poderosa na formação de um bom estudante de matemática.

Referências

• Matemática: conceitos e aplicações – Editora Moderna.
• Khan Academy – Proporções e grandezas inversamente proporcionais

"A educação é a chave para abrir as portas do progresso." – Anônimo

Seja persistente nos estudos e utilize os recursos disponíveis para dominar o tema de grandezas inversamente proporcionais. Com dedicação, o sucesso virá!