Função Quadrática: Exercícios Resolvidos para Dicção e Aprendizado

A função quadrática é um dos pilares do estudo da matemática, especialmente na álgebra. Sua compreensão é fundamental tanto para estudantes que desejam aprimorar seus conhecimentos quanto para quem busca aplicar esses conceitos em situações do cotidiano ou em carreiras técnicas. Neste artigo, apresentaremos uma abordagem completa sobre exercícios resolvidos envolvendo funções quadráticas, com dicas, exemplos e dicas de estudo, além de enriquecer a leitura com recursos úteis para quem deseja aprofundar ainda mais o tema.

Ao longo do texto, abordaremos as principais questões relacionadas às funções quadráticas, resolvendo exercícios de diferentes níveis de dificuldade. Se você quer aprender como determinar a parábola que uma função quadrática representa ou resolver problemas que envolvem esse conceito, continue a leitura.

O que é uma função quadrática?

Antes de mergulharmos nos exercícios, é importante relembrar o conceito básico de uma função quadrática.

Definição formal

Uma função quadrática é aquela cuja expressão geral é da forma:

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

onde:

• ( a eq 0 )
• ( b ) e ( c ) são números reais.

A sua representação gráfica é uma parábola que pode estar voltada para cima ou para baixo, dependendo do sinal de ( a ).

Características principais

• Vértice: ponto mais alto ou mais baixo da parábola.
• Eixo de simetria: linha que passa pelo vértice e divide a parábola ao meio.
• Zeros ou raízes: pontos onde a parábola corta o eixo ( x ).
• Concavidade: voltada para cima (( a > 0 )) ou para baixo (( a < 0 )).

Exercícios resolvidos de função quadrática

Para facilitar o entendimento, apresentaremos diversos exercícios resolvidos, que abordam desde conceitos básicos até aplicações mais complexas.

Exercício 1: Identificando a parábola

Questão: Dada a função ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ), identifique o vértice, o eixo de simetria e as raízes.

Solução:

1. Coeficiente (a): ( 2 ), que é maior que zero, indicando que a parábola está voltada para cima.

2. Vértice:

Calcula-se a coordenada ( x_v ) do vértice usando ( x_v = -\frac{b}{2a} ):

[ x_v = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 ]

Para encontrar ( y_v ), substituímos ( x = 1 ) na função:

[ y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 ]

Vértice: ( (1, -1) )

1. Eixo de simetria:

[ x = x_v = 1 ]

1. Raízes:

Usaremos a fórmula de Bhaskara:

[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8 ]

Raízes:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Respostas finais:

• Raízes: ( x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} ) e ( x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} )

Exercício 2: Grafando a parábola

Questão: Faça o gráfico da função ( g(x) = -x^2 + 4x - 3 ) e identifique suas principais características.

Solução:

1. Coeficiente ( a ): ( -1 ), parábola voltada para baixo.

2. Vértice:

[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 ]

Substituindo na função:

[ y_v = - (2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 ]

Vértice: ( (2, 1) )

1. Raízes:

[ \Delta = 4^2 - 4 \times (-1) \times (-3) = 16 - 12 = 4 ]

Raízes:

[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \times -1} = \frac{-4 \pm 2}{-2} ]

Determinando cada raiz:

• ( x = \frac{-4 + 2}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 )

• ( x = \frac{-4 - 2}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3 )

• Pontos adicionais:

Para melhorar o gráfico, podemos calcular valores em outros pontos, como ( x=0 ) e ( x=4 ):

• ( g(0) = -0 + 0 - 3 = -3 )
• ( g(4) = -16 + 16 - 3 = -3 )

Resumo das características:

Para uma visualização mais clara, sugestões de gráficos podem ser acessadas em websites como o Desmos.

Exercício 3: Problema aplicado

Questão: A trajetória de um projétil é descrita pela função ( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 ), onde ( t ) é o tempo em segundos e ( h(t) ) a altura em metros. Determine:

a) O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima.
b) A altura máxima atingida.
c) Quanto tempo leva para o projétil atingir o chão.

Solução:

1. Altura máxima:

A altura máxima ocorre no vértice da parábola, cujo ( t ) é dado por:

[ t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \text{ segundos} ]

1. Altura máxima:

[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = -5 \times 4 + 40 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21 \text{ metros} ]

1. Tempo para atingir o chão:

Quando ( h(t)=0 ):

[ -5t^2 + 20t + 1 = 0 ]

Aplicando Bhaskara:

[ \Delta = 20^2 - 4 \times (-5) \times 1 = 400 + 20 = 420 ]

[ t = \frac{-20 \pm \sqrt{420}}{2 \times -5} ]

Calculando:

[ t = \frac{-20 \pm \sqrt{420}}{-10} ]

Sabemos que ( \sqrt{420} \approx 20.49 ):

• ( t = \frac{-20 + 20.49}{-10} \approx \frac{0.49}{-10} \approx -0.049 ) (tempo negativo, descartado)

• ( t = \frac{-20 - 20.49}{-10} = \frac{-40.49}{-10} \approx 4.05 \text{ segundos} )

Resposta final:

• O projétil atinge a altura máxima de 21 metros após 2 segundos.
• Ele leva aproximadamente 4,05 segundos para atingir o chão.

Dicas para estudar funções quadráticas

• Pratique diferentes tipos de exercícios para consolidar o entendimento.
• Visualize as parábolas usando aplicativos de gráficos.
• Entenda as relações entre os coeficientes e a forma da parábola.
• Resolva problemas aplicados para entender a importância das funções quadráticas na física, economia, engenharia, entre outros.

Perguntas frequentes (FAQ)

1. Como saber se a parábola está voltada para cima ou para baixo?

O sinal do coeficiente ( a ) na expressão ( ax^2 + bx + c ) determina a concavidade:

• ( a > 0 ): parábola voltada para cima.
• ( a < 0 ): parábola voltada para baixo.

2. Como calcular as raízes de uma função quadrática?

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ]

onde ( \Delta = b^2 - 4ac ).

3. Como determinar o vértice de uma parábola?

A coordenada ( x ) do vértice é dada por:

[ x_v = -\frac{b}{2a} ]

Já a ( y ) pode ser obtida substituindo ( x_v ) na função.

4. Quais são os principais erros ao resolver exercícios de funções quadráticas?

• Esquecer de calcular o discriminante ( \Delta ).
• Não simplificar as raízes corretamente.
• Confundir os sinais ao aplicar a fórmula de Bhaskara.
• Não verificar os zeros que representam as raízes.

Conclusão

A compreensão das funções quadráticas é essencial para o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático e para a resolução de problemas do cotidiano e de diversas áreas do conhecimento. A prática com exercícios resolvidos é uma excelente estratégia para fixar os conceitos, entender as propriedades da parábola e aplicar a fórmula de Bhaskara de forma eficiente.

Lembre-se: "O sucesso na aprendizagem matemática depende da prática contínua e do entendimento dos conceitos fundamentais." — autores do ensino de matemática.

Se desejar ampliar seus estudos, recomenda-se explorar recursos como o Khan Academy e o Brasil Escola que oferecem materiais didáticos de qualidade.

Referências

• Herbert M. Martin. Matemática: conceitos e aplicações. São Paulo: Editora Ática, 2010.
• Girolami, D.. Álgebra e funções. Porto Alegre: Sulina, 2015.
• Khan Academy - Funções Quadráticas

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