Função Quadrática: Exercícios Resolvidos para o 9º Ano

A compreensão da função quadrática é fundamental para estudantes do 9º ano que estão iniciando o estudo das equações do segundo grau. Este artigo foi elaborado para ajudar alunos e professores a entenderem melhor esse conteúdo por meio de exercícios resolvidos, dicas práticas e explicações detalhadas. Vamos explorar conceitos essenciais, resolver questões práticas e responder às dúvidas mais comuns relacionadas à função quadrática.

Introdução

A função quadrática é uma das funções mais estudadas na matemática básica, presente em diversas áreas do conhecimento, como física, economia e engenharia. Sua representação mais comum é a equação do segundo grau, que possui a forma geral:

[ax^2 + bx + c = 0]

Onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0.

Entender essa função é essencial para resolver problemas que envolvem parabolas, máximos e mínimos, além de questões de otimização.

O que é a função quadrática?

A função quadrática é uma função polinomial de grau 2 e sua representação gráfica é uma parábola. Ela possui características específicas que facilitam sua análise, como:

• Vértice
• Eixo de simetria
• Zeros ou raízes
• Concavidade

Equação geral

A forma mais usada para estudar a função é:

[f(x) = ax^2 + bx + c]

Gráfico da parábola

O gráfico dessa função é uma parábola que pode ser aberta para cima (quando a > 0) ou para baixo (quando a < 0).

Como resolver exercícios de função quadrática?

Resolver exercícios de função quadrática envolve diversas etapas, incluindo o uso da fórmula de Bhaskara, análise do discriminante, e determinação do vértice e raízes.

Método de resolução

1. Escolha o método adequado: fatoração, fórmula de Bhaskara ou completando o quadrado.
2. Identifique os coeficientes a, b e c.
3. Calcule o discriminante (\Delta = b^2 - 4ac).
4. Analise as possíveis raízes:
5. (\Delta > 0): duas raízes reais e distintas.
6. (\Delta = 0): uma raiz real (raízes iguais).
7. (\Delta < 0): raízes complexas (não aparecem no 9º ano, geralmente).
8. Encontre as raízes usando a fórmula de Bhaskara:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}]

1. Determine o vértice da parábola:

[x_v = -\frac{b}{2a}]

[y_v = f(x_v)]

Exercícios resolvidos de função quadrática para o 9º ano

A seguir, apresentamos alguns exercícios com passo a passo de resolução, adequados para estudantes do 9º ano.

Exercício 1: Encontrar as raízes da equação

Enunciado: Resolva a equação (2x^2 - 4x - 6 = 0).

Resolução:

1. Identifique os coeficientes:

2. (a = 2)

3. (b = -4)

4. (c = -6)

5. Calcule o discriminante:

[\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64]

1. Como (\Delta > 0), há duas raízes reais distintas.

2. Use a fórmula de Bhaskara:

[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 8}{4}]

1. Calculate as raízes:

2. (x_1 = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3)

3. (x_2 = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1)

Resposta: As raízes da equação são (x = 3) e (x = -1).

Exercício 2: Encontrar o vértice da parábola

Enunciado: Considere a função (f(x) = -x^2 + 4x + 1). Determine o vértice da parábola.

Resolução:

1. Coeficiente (a = -1) e (b = 4).

2. Calcula-se a abscissa do vértice:

[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times -1} = -\frac{4}{-2} = 2]

1. Calcula-se a ordenada do vértice:

[y_v = f(2) = - (2)^2 + 4 \times 2 + 1 = -4 + 8 + 1 = 5]

Resposta: O vértice da parábola é o ponto ((2, 5)).

Tabela resumo de características da função quadrática

Perguntas frequentes (FAQs)

1. Como saber se uma parábola está abrindo para cima ou para baixo?

Se o coeficiente a da equação (ax^2 + bx + c) for positivo, a parábola abre para cima. Se a for negativo, ela abre para baixo.

2. Como determinar as raízes de uma equação quadrática?

Utilize a fórmula de Bhaskara, calculando o discriminante (\Delta). Dependendo do valor de (\Delta), há raízes reais ou complexas.

3. O que significa o vértice de uma parábola?

O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo da sua concavidade. Ele representa o máximo ou mínimo da função.

4. Como determinar o ponto de máximo ou mínimo?

O vértice da parábola é o ponto de máximo (para parábola voltada para baixo) ou de mínimo (para parábola voltada para cima).

5. Quais aplicações práticas da função quadrática?

Ela é usada para calcular trajetórias de objetos em física, maximizar lucros na economia, otimizar recursos, entre outros.

Conclusão

A compreensão da função quadrática é essencial para o desenvolvimento do raciocínio lógico e resolução de problemas matemáticos no 9º ano. A prática de exercícios resolvidos, como os apresentados neste artigo, ajuda a consolidar conceitos como cálculo de raízes, vértice, discriminante e gráfico. Além disso, essas habilidades são fundamentais para estudos futuros em álgebra e geometria analítica.

Para quem deseja aprofundar ainda mais, recomenda-se consultar materiais disponíveis em sites como Matemática Prime e Studylib.

Lembre-se: "A prática é a mãe da aprendizagem" – uma frase que reforça a importância de exercitar os conceitos para dominar a matéria.

Referências

• BRITO, M. V. (2020). Álgebra para o Ensino Fundamental. Editora Educacional.
• SANTOS, P. R. (2019). Matemática Básica: Funções e suas aplicações. Editora Ferreira.
• Khan Academy. Função Quadrática. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics

Aproveite para praticar cada exercício e fortalecer sua compreensão sobre funções quadráticas!