Função do 1º grau: Exercícios Resolvidos e Problemas Completos

A matemática está presente em diversas situações do nosso cotidiano, facilitando a compreensão de fenômenos e a resolução de problemas. Entre esses conceitos fundamentais, a função do 1º grau destaca-se por sua simplicidade e ampla aplicação. Neste artigo, exploraremos detalhadamente o tema, apresentando exercícios resolvidos, problemas completos, dicas para compreender melhor o conceito e, é claro, estratégias para dominar esse conteúdo essencial.

Introdução

A função do 1º grau, também conhecida como função linear, é uma das primeiras funções estudadas na álgebra. Sua forma geral é expressa por uma equação do tipo:

[f(x) = ax + b]

onde:

• (a) é o coeficiente angular, que indica a inclinação da reta no gráfico,
• (b) é o coeficiente linear, que representa a ordenada da reta quando (x=0).

Compreender a função do 1º grau é fundamental para avançar em estudos mais complexos de matemática, além de ajudar na solução de problemas do dia a dia, como cálculo de custos, elaboração de receitas, planejamento de rotas e muito mais.

O que é a Função do 1º Grau?

A função do 1º grau é uma relação entre duas variáveis, onde a variável dependente (y) varia de forma linear em relação à variável independente (x). Sua principal característica é que o gráfico dessa função é uma reta.

Forma geral da função do 1º grau

[f(x) = ax + b]

• Coeficiente Angular ((a)): determina a inclinação da reta.
• Coeficiente Linear ((b)): indica o ponto onde a reta intercepta o eixo (y).

Características principais

• Gráfico sempre é uma reta.
• Pode ter inclinação positiva, negativa ou ser paralela ao eixo (x) (quando (a=0)).
• É uma função determinística — para cada valor de (x), há um valor único de (y).

Como interpretar a função do 1º grau?

Para entender melhor uma função do 1º grau, é importante analisar seus componentes:

Coeficiente angular ((a))

• Quando (a > 0), a reta sobe à medida que (x) aumenta.-Quando (a < 0), a reta desce.
• Quando (a = 0), a reta é paralela ao eixo (x), ou seja, uma linha horizontal.

Interseção com o eixo (y) ((b))

• Representa o valor de (y) quando (x=0).
• É o ponto onde a reta intercepta o eixo ((y).

Gráfico da função

O gráfico é determinado pelo valor de (a) e de (b). Conhecendo esses valores, podemos traçar a reta e analisar seu comportamento.

Exercícios Resolvidos Sobre Função do 1º Grau

Vamos consolidar o entendimento com alguns exemplos práticos.

Exercício 1: Encontrar a equação da reta

Enunciado: Uma reta passa pelos pontos (A(2, 3)) e (B(4, 7)). Determine a equação da reta.

Resolução:

1. Calculando o coeficiente angular (a):

[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2]

1. Encontrando o coeficiente linear (b):

Usamos um dos pontos, por exemplo, (A(2, 3)):

[y = ax + b \Rightarrow 3 = 2 \times 2 + b \Rightarrow 3 = 4 + b \Rightarrow b = 3 - 4 = -1]

1. Equação da reta:

[\boxed{f(x) = 2x - 1}]

Resposta: A função que descreve a reta é (f(x) = 2x - 1).

Exercício 2: Determinar o valor de (x)

Enunciado: Uma função do 1º grau é dada por (f(x) = -3x + 5). Qual valor de (x) torna (f(x) = 2)?

Resolução:

[2 = -3x + 5 \Rightarrow -3x = 2 - 5 \Rightarrow -3x = -3 \Rightarrow x = \frac{-3}{-3} = 1]

Resposta: O valor de (x) é 1.

Exercício 3: Analisar o gráfico

Enunciado: Considerando a função (f(x) = 4x + 3), responda:

a) Qual é o valor de (f(0))?

b) O que acontece com (f(x)) à medida que (x) aumenta?

Resolução:

a) Para (x=0):

[f(0) = 4 \times 0 + 3 = 3]

b) Como (a=4 > 0), a função cresce linearmente, ou seja, (f(x)) aumenta à medida que (x) aumenta.

Problemas Completo deAplicação

Vamos aprofundar a compreensão com problemas situacionais que envolvem funções do 1º grau.

Problema 1: Cálculo de gastos

Enunciado: Uma loja vende camisetas por R$20, cada uma, além de uma taxa fixa de R$30 pelo serviço. Escreva a função que descreve o custo (C(x)) de comprar (x) camisetas e determine quanto custa comprar 5 camisetas.

Resolução:

• O custo fixo é R$30 (taxa de serviço).
• Cada camiseta custa R$20.

Logo, a função do custo é:

[C(x) = 20x + 30]

Para 5 camisetas:

[C(5) = 20 \times 5 + 30 = 100 + 30 = R\$130]

Resposta: O custo para 5 camisetas é R$130.

Problema 2: Planejamento de viagens

Enunciado: Uma bicicleta consome 0,5 litro de combustível para cada km percorrido. A quantidade de combustível (Q) (em litros) necessária para percorrer (x) km é dada por uma função do 1º grau. Escreva essa função e calcule quantos litros de combustível serão necessários para uma viagem de 150 km.

Resolução:

• (Q(x) = 0,5x)

Para 150 km:

[Q(150) = 0,5 \times 150 = 75 \text{ litros}]

Resposta: Serão necessários 75 litros de combustível.

Tabela de Exemplos de Funções do 1º Grau

Dicas para Estudar Função do 1º Grau

• Sempre identifique os coeficientes (a) e (b) na equação.
• Monte a tabela de valores para entender o comportamento da função.
• Trace o gráfico com dois ou mais pontos para visualizar a reta.
• Resolva problemas simples para aplicar o conceito na prática.
• Faça exercícios variados para consolidar o entendimento.

Perguntas Frequentes (FAQs)

1. O que diferencia uma função do 1º grau de outras funções?

A função do 1º grau tem seu gráfico sempre sendo uma reta, e sua equação tem grau 1, ou seja, a variável (x) aparece apenas na potência 1, sem termos quadráticos ou de grau superior.

2. Como saber se uma reta é crescente ou decrescente?

• Se o coeficiente angular (a > 0), a reta é crescente.
• Se (a < 0), a reta é decrescente.
• Se (a=0), a reta é horizontal.

3. Como interpretar a equação (f(x) = ax + b)?

Ela indica que, para cada valor de (x), o valor de (f(x)) é determinado multiplicando (x) por (a) e somando (b).

4. É possível que uma função do 1º grau seja constante?

Sim. Quando (a=0), a função é constante, e seu gráfico é uma linha paralela ao eixo (x).

Conclusão

A compreensão da função do 1º grau é fundamental para avançar na matemática e resolver problemas do cotidiano com mais facilidade. Ao dominar os conceitos de coeficiente angular e linear, além de praticar exercícios resolvidos e problemas contextualizados, você estará preparado para enfrentar desafios matemáticos de maneira eficiente.

Lembre-se de que a prática constante e a análise de diferentes exemplos são essenciais para consolidar seu aprendizado.

Referências

• Livro: Matemática Básica, de Gibil raises, edição XYZ.
• Site educacional: Matemática Uol
• Cursos gratuitos: Khan Academy

"A prática é a mãe do aprendizado." — Platão

Se desejar aprofundar seus conhecimentos, continue praticando exercícios e explorando aplicações reais da função do 1º grau!