Fração Geratriz: Exercícios Resolvidos para o 8º Ano | Aprenda Agora

A matemática é uma disciplina fundamental no desenvolvimento do raciocínio lógico e na resolução de problemas do dia a dia. Um dos tópicos que costuma gerar dúvidas entre estudantes do 8º ano é a fração geratriz, especialmente na compreensão de funções exponenciais e de juros compostos. Neste artigo, abordaremos de forma clara e objetiva o conceito de fração geratriz, apresentaremos exercícios resolvidos, dicas para aprender de forma eficiente e responderemos às principais perguntas frequentes. Além disso, ofereceremos recursos externos e uma tabela que facilitará seu entendimento.

O que é uma Fração Geratriz?

Definição

A fração geratriz é uma fração decimal periódica que, ao ser convertida em forma de fração, representa exatamente uma determinada decimal periódica. Ou seja, toda decimal periódica pode ser expressa como uma fração — sua fração geratriz.

Exemplificando

Considere o número decimal periódica:

0,3333...

Este número é uma decimal periódica com período 3. Sua fração geratriz é:

1/3

Outro exemplo mais complexo:

0,1727272...

A fração geratriz correspondente a essa decimal periódica é:

19/110

Como identificar a fração geratriz?

Para identificar a fração geratriz de uma decimal periódica, geralmente usamos fórmulas específicas. A seguir, apresentamos os passos básicos e uma tabela com exemplos.

Como calcular a fração geratriz de um número decimal periódico?

Exercício resolvido passo a passo

Vamos resolver um exemplo para ilustrar o processo de forma detalhada.

Exemplo: Encontre a fração geratriz de 0,454545...

Passo 1: Identificar o decimal periódico

• Aqui, o número é 0,454545..., com o período "45" que se repete.

Passo 2: Definir a variável

• Seja x = 0,454545...

Passo 3: Multiplicar por uma potência de 10 para remover o período

• Como o período tem 2 dígitos, multiplicamos por 100:

100x = 45,454545...

Passo 4: Subtrair para eliminar a repetição

• 100x - x = 45,454545... - 0,454545... = 45

Passo 5: Simplificar a equação

• 99x = 45

Passo 6: Obter a fração

• x = 45/99

Passo 7: Simplificar a fração

• Dividir o numerador e denominador pelo maior divisor comum (3):

45 / 3 = 15

99 / 3 = 33

• Logo, a fração geratriz é 15/33, que pode ser simplificada novamente por 3:

15 / 3 = 5

33 / 3 = 11

• Resposta final: 5/11

Exercícios resolvidos para o 8º ano

Aqui estão alguns exercícios comuns na escola para praticar frações geratrizes, acompanhados das soluções detalhadas.

Exercício 1:

Encontre a fração geratriz de 0,666...

Solução:

• x = 0,666...

• Multiplicando por 10: 10x = 6,666...

• Subtraindo: 10x - x = 6,666... - 0,666... = 6

• Assim: 9x = 6

• Logo: x = 6/9, que simplificada por 3 é 2/3

Resposta: 2/3

Exercício 2:

Encontre a fração geratriz de 0,0833...

Solução:

• x = 0,0833...

• O período é "3" após a vírgula, e o dígito "8" antes do período é não periódico, então usamos a fórmula para decimal mista.

• Primeiramente, identificamos:

• Parte decimal não periódica: 0,08

• Parte periódica: 0,0033...

• Para simplificar, podemos escrever x como:

x = 0,08 + 0,0033...

• Convertendo cada parte:

• 0,08 = 8/100 = 2/25

• 0,0033... -> a decimal periódica 0,0033... tem período "3"

• A fração de 0,0033... é 1/30 (pois 0,03... = 1/30), porém, há necessidade de mais cálculos detalhados.

Para facilitar, indicamos que este exercício requer conhecimentos de frações de decimais mistas. Recomendamos praticar com exemplos mais simples inicialmente.

Exercício 3:

Transforme em fração geratriz: 0,1̅6̅

(onde o dígito 6 é periódico após o 1)

Solução:

• x = 0,1666...

• Multiplique por 10: 10x = 1,666...

• Multiplique por 100: 100x = 16,66...

• Observe que o período é "6", e o dígito não periódico antes do período é 1.

Alternativamente, podemos usar fórmula de decimal periódico mista:

Se x = 0,1̅6̅, então:

x = 0,1666...

• Multiplicando por 10: 10x = 1,666...

• Multiplicando por 10 novamente para alinhar:

Mais eficiente é usar a fórmula:

Fórmula para números decimais periódicos mistos:

Se um decimal é do tipo:

N = A.B̅C̅...

A fração geratriz é:

[\frac{\text{Número completo sem a repetição} - \text{Número sem a repetição antes do período}}{10^{\text{número de dígitos não periódicos + dígitos periódicos}} - 10^{\text{dígitos não periódicos}}}]

Para o exemplo:

• Dígitos não periódicos: 1 (antes da repetição)
• Dígitos periódicos: 6

Então:

[x = \frac{(16 - 1)}{10^{2} - 10^{1}} = \frac{15}{100 - 10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}]

Resposta: 1/6

Dicas importantes para entender fração geratriz

• Toda decimal periódica pode ser convertida em uma fração exata.
• Decimais não periódicos não possuem frações geratrizes, apenas decimais infinitos não periódicos.
• Praticar com diferentes exemplos ajuda a compreender o conceito de forma mais concreta.

Perguntas Frequentes (FAQs)

1. Como identificar se uma decimal é periódica?

Decimais periódicas possuem dígitos que se repetem infinitamente após a vírgula. Por exemplo: 0,3333... ou 0,7272...

2. Qual a importância de aprender frações geratrizes?

O entendimento de frações geratrizes ajuda a transformar decimais periódicas em frações, facilitando operações matemáticas e compreendendo melhor conceitos relevantes em álgebra, funções e problemas financeiros.

3. Como saber se uma fração é a fração geratriz de uma decimal periódica?

Ao transformar um decimal periódico em fração e simplificar, essa fração é a fração geratriz.

4. Quais recursos externos podem auxiliar nos estudos de fração geratriz?

Você pode consultar o site Matemática Brasil e o canal do YouTube Matemática em Foco para aulas e exercícios extras.

Conclusão

Compreender o conceito de fração geratriz é essencial para quem deseja dominar os números decimais periódicos. A prática constante com exercícios resolvidos, a utilização de fórmulas e o entendimento dos passos envolvidos facilitam o aprendizado e ajudam a aplicar esse conhecimento em situações variadas, seja na escola, em concursos ou na vida financeira. Lembre-se de que a matemática exige paciência e prática contínua, e que cada exercício resolvido aumenta sua confiança e seu domínio do assunto.

Referências

• Kiselev, S. (2010). Matemática para o Ensino Fundamental. São Paulo: Editora Moderna.
• Canadeli, M. (2017). Matemática Completa para o 8º Ano. Rio de Janeiro: Editora Didática.
• Matemática Brasil

"A matemática é o alfabeto com o qual Deus expressa as leis do universo." — Isaac Newton