Exercícios Resolvidos Sobre Progressão Aritmética: Guia Completo

A progressão aritmética (PA) é um dos conceitos fundamentais da matemática, amplamente estudado no ensino fundamental e médio. Compreender seus princípios e saber resolver exercícios relacionados é essencial para desenvolver o raciocínio lógico e preparar-se para provas e concursos. Neste guia completo, apresentaremos exercícios resolvidos sobre progressão aritmética, incluindo conceitos básicos, dicas de resolução, tabela de exemplos e perguntas frequentes, tudo otimizado para que você domine o tema.

Introdução

A progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante, condição esta conhecida como razão da PA. Conhecer essa propriedade permite resolver diversos problemas envolvendo sequências numéricas, progressões e séries.

“A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o universo.” — Galileo Galilei

Este artigo tem como objetivo oferecer uma abordagem prática e clara, com exercícios resolvidos, para que estudantes e professores possam consolidar seus conhecimentos sobre progressão aritmética.

O que é uma Progressão Aritmética?

Definição formal

Uma sequência numérica ( (a_n) ) é uma progressão aritmética se, para todo ( n ),

[a_{n+1} - a_{n} = r]

onde:

• ( a_{n} ) é o termo de posição ( n ),
• ( r ) é a razão da PA.

Fórmula do termo geral

O termo geral de uma PA é dado por:

[a_n = a_1 + (n - 1) \times r]

onde:

• ( a_1 ) é o primeiro termo,
• ( r ) é a razão,
• ( n ) é a posição do termo.

Soma dos termos de uma PA

A soma dos ( n ) primeiros termos é calculada por:

[S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)]

ou alternativa, usando a fórmula do termo geral:

[S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1) r]]

Exercícios resolvidos sobre progressão aritmética

A seguir, apresentamos uma sequência de exercícios resolvidos, que ilustram a aplicação das fórmulas e conceitos de PA.

Exercício 1: Encontrar o quinto termo de uma PA

Enunciado: Dada uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 3 e razão é 4, encontre o quinto termo ( a_5 ).

Resolução:

Utilizamos a fórmula do termo geral:

[a_n = a_1 + (n - 1) r]

Substituindo os valores:

[a_5 = 3 + (5 - 1) \times 4 = 3 + 4 \times 4 = 3 + 16 = 19]

Resposta: O quinto termo é 19.

Exercício 2: Encontrar o primeiro termo quando o décimo termo é 50 e a razão é 3

Enunciado: Uma PA tem ( a_{10} = 50 ) e razão ( r = 3 ). Qual é o primeiro termo ( a_1 )?

Resolução:

Sabemos que:

[a_{10} = a_1 + (10 - 1) r]

Substituindo:

[50 = a_1 + 9 \times 3][50 = a_1 + 27][a_1 = 50 - 27 = 23]

Resposta: O primeiro termo é 23.

Exercício 3: Encontrar a soma dos 15 primeiros termos

Enunciado: Considere a PA com primeiro termo ( a_1 = 2 ), razão ( r = 5 ). Calcule a soma dos 15 primeiros termos ( S_{15} ).

Resolução:

Primeiro, encontramos o ( a_{15} ):

[a_{15} = a_1 + (15 - 1) r = 2 + 14 \times 5 = 2 + 70 = 72]

Agora, utilizamos a fórmula da soma:

[S_{15} = \frac{n}{2} (a_1 + a_{n}) = \frac{15}{2} (2 + 72) = \frac{15}{2} \times 74 = 7,5 \times 74 = 555]

Resposta: A soma dos 15 primeiros termos é 555.

Tabela de exercícios resolvidos

Como resolver exercícios de progressão aritmética?

Passo 1: Identificar os dados disponíveis

Pergunte-se:

• Qual é o primeiro termo ( a_1 )?
• Qual é a razão ( r )?
• Qual termo quero encontrar (( a_n ) ou ( a_m ))?
• Quero calcular a soma parcial ( S_n )?

Passo 2: Escolher a fórmula adequada

Dependendo do que foi solicitado, utilize:

• Para o termo geral ( a_n ),
• Para soma ( S_n ),
• E soluções diretas para ( a_1 ), ( r ).

Passo 3: Substituir e calcular

Insira os valores na fórmula e resolva passo a passo, verificando a consistência dos resultados.

Dicas importantes:

• Sempre verificar se a sequência é realmente uma PA (diferença constante).
• Usar a fórmula do termo geral para encontrar qualquer termo.
• Para longas sequências, prefira a fórmula da soma ( S_n ), que é mais prática.

Perguntas Frequentes (FAQ)

1. Como posso identificar se uma sequência é uma PA?

Verifique se a diferença entre os termos consecutivos é constante para toda a sequência. Se essa diferença ( d ) não variar, trata-se de uma PA.

2. Qual é a diferença entre progressão aritmética e progressão geométrica?

Na PA, a razão ( r ) entre termos consecutivos é constante, ou seja, ( a_{n+1} - a_n = r ). Já na progressão geométrica, multiplicamos por uma razão constante: ( a_{n+1} = a_n \times q ).

3. Como calcular a soma de uma PA com muitos termos sem listar todos?

Use a fórmula:

[S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)]

E, se necessário, calcule ( a_n ) pelo termo geral.

4. É possível ter uma PA com razão zero?

Sim. Nesse caso, todos os termos são iguais a ( a_1 ).

5. Como noções de progressão aritmética se aplicam na vida real?

Elas aparecem em situações como o crescimento da população, pagamentos periódicos, escalas de salários ou investimentos, entre outros.

Conclusão

A progressão aritmética é uma ferramenta poderosa na matemática, fundamental para compreender sequências e séries numéricas. A prática dos exercícios resolvidos torna-se essencial para consolidar os conceitos e facilitar a resolução de questões durante provas e no cotidiano.

Lembre-se que a chave para dominar a PA está na compreensão das fórmulas e na prática contínua. Responder e criar seus próprios problemas é uma excelente estratégia de aprendizagem.

Referências

• BRASIL. Ministério da Educação. Matemática Ensino Médio. Disponível online
• OLIVEIRA, José Roberto. Matemática Básica para Concursos. Editorial Saraiva, 2018.
• RESNIK, Walter. Progressões Aritméticas e Geométricas. Aula de Matemática, 2020.

Se você deseja aprofundar seu conhecimento em progressões ou explorar mais exercícios resolvidos, consulte recursos como o Khan Academy - Progressões e o Matemática Online.

Deseja aprimorar suas habilidades? Pratique resolvendo problemas e revise sempre que possível!