Exercícios Resolvidos de Função Quadrática: Guia Completo

A função quadrática é um dos temas mais importantes e recorrentes nos estudos de matemática do ensino médio e vestibulares. Sua compreensão é fundamental para quem deseja dominar conceitos de álgebra, geometria analítica e cálculo. Neste guia completo, apresentaremos uma série de exercícios resolvidos de função quadrática, dicas práticas, conceitos essenciais e dicas para facilitar sua preparação.

Introdução

A função quadrática, representada pela expressão (f(x) = ax^2 + bx + c), onde (a eq 0), é uma das funções mais estudadas na matemática. Sua importância é evidenciada pela sua aplicação em diversas áreas, como física, engenharia, economia, entre outras.

Neste artigo, abordaremos desde a resolução de exercícios básicos até questões mais desafiadoras, incluindo técnicas de determinação de vértice, zeros, interceptações e gráfico da parábola. Nosso objetivo é tornar seu entendimento mais sólido e facilitar seu aprendizado.

Conceitos fundamentais sobre função quadrática

Antes de mergulharmos nos exercícios resolvidos, vamos reforçar alguns conceitos essenciais:

Forma geral da função quadrática

[f(x) = ax^2 + bx + c]

onde:

• (a eq 0)
• (b) e (c) são coeficientes reais

Vértice da parábola

O ponto de coordenadas ((x_v, y_v)), onde a parábola atinge seu máximo ou mínimo, é dado por:

[x_v = -\frac{b}{2a}][y_v = f(x_v) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c]

Obs.: Se (a > 0), a parábola é abertura para cima (mínimo). Se (a < 0), para baixo (máximo).

Zeros ou raízes da função

São os pontos onde a parábola corta o eixo (x), ou seja, as soluções da equação:

[ax^2 + bx + c = 0]

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}]com o discriminante (\Delta = b^2 - 4ac).

Interceptação no eixo (y)

O ponto onde a parábola corta o eixo (y) acontece quando (x=0):

[f(0) = c]

Exercícios resolvidos de função quadrática

A seguir, apresentamos uma variedade de exercícios com soluções passo a passo, para fortalecer sua compreensão.

Exercício 1: Encontrar as raízes da função (f(x) = 2x^2 - 4x - 6).

Solução:

1. Identifique os coeficientes: (a=2), (b=-4), (c=-6).

2. Calcule o discriminante:

[\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64]

1. As raízes serão:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 8}{4}]

1. Calculando as raízes:

2. Para (+):[x = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3]

3. Para (-):[x = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1]

Resposta: As raízes da função são (x=3) e (x=-1).

Exercício 2: Determinar o vértice da parábola (f(x) = -x^2 + 6x - 5).

Solução:

1. Coeficientes: (a=-1), (b=6), (c=-5).

2. Calcula-se (x_v):

[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times -1} = -\frac{6}{-2} = 3]

1. Calcula-se (y_v = f(3)):

[f(3) = - (3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4]

Resposta: O vértice é ((3, 4)), e a parabólica é abertura para baixo (como (a<0)).

Exercício 3: Determinar a equação da parábola cujo vértice é ((2, -3)) e passa pelo ponto ((4, 1)).

Solução:

Vamos usar a forma do vértice:

[f(x) = a (x - x_v)^2 + y_v]

Sabemos que:

[f(x) = a (x - 2)^2 - 3]

Para determinar (a), substituímos o ponto ((4,1)):

[1 = a (4 - 2)^2 - 3 \Rightarrow 1 = a (2)^2 - 3 \Rightarrow 1 = 4a - 3][4a = 4 \Rightarrow a=1]

Resposta: A equação da parábola é

[f(x) = (x - 2)^2 - 3]

ou, na forma expandida:

[f(x) = x^2 - 4x + 1]

Tabela Comparativa de Características da Função Quadrática

Dicas importantes para resolver exercícios de função quadrática

• Sempre identifique os coeficientes antes de aplicar fórmulas.
• Verifique o discriminante para saber o número de raízes.
• Use a fórmula do vértice para obter o ponto extremo da parábola.
• Para encontrar a equação dado o vértice e um ponto, utilize a forma de vértice.
• Visualize o gráfico para entender melhor as características da parábola.

Perguntas frequentes (FAQs)

1. Como calcular o vértice de uma função quadrática?

Para uma função (f(x) = ax^2 + bx + c), o vértice tem coordenadas:

[x_v = -\frac{b}{2a}][y_v = f(x_v)]

Basta substituir (x_v) na expressão de (f(x)).

2. Como determinar as raízes de uma função quadrática?

Utilize a fórmula de Bhaskara ou, se possível, fatorize a equação. O discriminante (\Delta = b^2 - 4ac) informa se há raízes reais ((\Delta \geq 0)) ou complexas ((\Delta < 0)).

3. O que significa se o discriminante for zero?

Significa que a função possui uma única raiz real, ou seja, o vértice está sobre o eixo (x).

4. Como fazer o gráfico de uma parábola com uma função dada?

Identifique o vértice, as raízes, o ponto de interceptação no (y), e tenha noções da abertura (para cima ou para baixo). Use esses pontos para desenhar a parábola.

5. Qual a importância da função quadrática na vida diária?

Ela é usada na física (trajetórias parabolicas), economia (maximizar lucros ou minimizar custos), engenharia, design, e muitas outras áreas.

Conclusão

A compreensão dos exercícios resolvidos de função quadrática é fundamental para consolidar seus conhecimentos e avançar na matemática. Conhecer as técnicas de resolução, interpretar o gráfico da parábola e aplicar fórmulas de forma adequada irão facilitar sua vida nos estudos e nas avaliações.

Não se esqueça de praticar diversos tipos de exercícios e sempre relacionar os conceitos teóricos com aplicações práticas. Como disse Albert Einstein:

"A ciência é impressionante quando atende às nossas perguntas, mas é maravilhosa quando nos faz fazer novas perguntas."

Se quiser aprofundar seus estudos, recomendamos consultar o site Matemática Online, que oferece recursos e exercícios adicionais.

Referências

• Livro: "Fundamentos de Matemática Elementar" - Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn.
• Site: Khan Academy - Função Quadrática
• Recurso online: Matemática Web

Esperamos que este guia completo tenha ajudado você a entender e resolver exercícios de função quadrática com mais facilidade. Bons estudos!