Exercícios de Função Quadrática Resolvidos: Guia Completo

A matemática é uma disciplina que desafia a mente e estimula o raciocínio lógico. Entre os temas mais recorrentes nos níveis básico e médio, a função quadrática ocupa uma posição de destaque, sendo fundamental para compreender diversos fenômenos do mundo real — desde a trajetória de um projétil até problemas de otimização. Neste artigo, apresentaremos um guia completo com exercícios resolvidos de função quadrática, explicando passo a passo cada questão, além de fornecer dicas valiosas para aprimorar seus estudos.

Introdução

A função quadrática, geralmente representada por (f(x) = ax^2 + bx + c), é uma das funções polinomiais de grau 2 mais estudadas na matemática. Ela é caracterizada por sua parábola, cuja abertura (para cima ou para baixo) depende do coeficiente (a). Dominar os exercícios de função quadrática é essencial para alcançar um bom desempenho em concursos, vestibulares e no aprendizado geral de matemática.

Como afirmava o matemático Carl Friedrich Gauss, “Matemática é o rei das ciências e a teoria dos números é a rainha dela.” Para que você seja um rei ou rainha no entendimento de funções quadráticas, este guia oferece uma abordagem prática e resolvida.

O que é uma função quadrática?

Uma função quadrática é uma função polinomial de grau 2, expressa na forma geral:

[f(x) = ax^2 + bx + c]

onde:- (a eq 0)- (b, c) são coeficientes reais

Propriedades principais:

• Vértice: ponto mais alto ou mais baixo da parábola
• Eixo de simetria: reta que divide a parábola ao meio
• Raízes ou zeros: valores de (x) em que a função intercepta o eixo (x)
• Concavidade: para (a > 0), a parábola abre para cima; para (a < 0), abre para baixo

Como resolver exercícios de função quadrática

Para facilitar a resolução de exercícios, é importante dominar alguns métodos:

• Fórmula de Bhaskara
• Completar o quadrado
• Vértice da parábola
• Análise do discriminante ((\Delta))

Vamos explorar cada método com exemplos resolvidos.

Métodos de resolução e exemplos resolvidos

1. Resolvendo por Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é utilizada para encontrar as raízes de uma equação quadrática:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}]

onde o discriminante é dado por:

[\Delta = b^2 - 4ac]

Exemplo 1: Encontrar as raízes de (2x^2 - 4x - 6 = 0)

Resolução:

• Coeficientes: (a=2), (b=-4), (c=-6)
• Calculando (\Delta):

[\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64]

• Calculando as raízes:

[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 8}{4}]

• Duas soluções:

[x_1 = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3][x_2 = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1]

Resposta: As raízes são (x=3) e (x=-1).

2. Completar o quadrado

Este método transforma a equação na forma ((x - h)^2 = k), facilitando a análise do vértice e raízes.

Exemplo 2: Resolver (x^2 + 6x + 5 = 0)

Resolução:

• Agrupa e completa o quadrado:

[x^2 + 6x = -5][x^2 + 6x + 9 = -5 + 9][(x + 3)^2 = 4]

• Soluções:

[x + 3 = \pm \sqrt{4} = \pm 2]

• Encontrando (x):

[x = -3 \pm 2]

[x_1 = -3 + 2 = -1][x_2 = -3 - 2 = -5]

Resposta: As raízes são (x = -1) e (x = -5).

3. Encontrando o vértice

A coordenada (x) do vértice é dada por:

[x_v = -\frac{b}{2a}]

E a coordenada (y) é obtida substituindo (x_v) na função.

Exemplo 3: Encontrar o vértice de (f(x) = -x^2 + 4x + 1)

Resolução:

• Coeficientes: (a = -1), (b=4), (c=1)

• (x_v = -\frac{4}{2 \times -1} = -\frac{4}{-2} = 2)

• (y_v = f(2) = - (2)^2 + 4 \times 2 + 1 = -4 + 8 + 1 = 5)

Resposta: Vértice em ((2, 5)), e a parábola abre para baixo (pois (a<0)).

Tabela resumo de métodos de resolução

Perguntas Frequentes (FAQ)

1. Como saber se uma função quadrática tem raízes reais?

Se o discriminante (\Delta) for maior que zero, a função possui duas raízes reais distintas. Se (\Delta = 0), há uma raiz real (raiz dupla). Se (\Delta < 0), não há raízes reais, apenas raízes complexas.

2. Como determinar o vértice de uma parábola?

Use as fórmulas:

[x_v = -\frac{b}{2a}][y_v = f(x_v)]

Para a coordenada (y_v), substitua o valor de (x_v) na função original.

3. Como encontrar as raízes de uma função quadrática sem fórmula de Bhaskara?

Além do método de completar o quadrado, você pode usar fatoração (quando possível), ou analisar o gráfico para estimar as raízes.

Conclusão

Resolver exercícios de função quadrática é essencial para consolidar o entendimento das propriedades dessa importante função. A prática constante e o domínio dos métodos apresentados — Bhaskara, completar o quadrado e análise do vértice — facilitarão a resolução de problemas em provas e aplicações práticas.

Lembre-se de que a matemática é uma construção, e quanto mais você praticar, mais natural será compreender as várias formas de resolução.

Se desejar aprofundar mais seus conhecimentos, consulte recursos como o Khan Academy e Matemática S.A.

Referências

• GOMES, R. C. "Álgebra Elementar." Editora Moderna, 2018.
• PIOVESAN, M. "Matemática para Concursos." Editora Scipione, 2019.
• Khan Academy - Funções Quadráticas

Este artigo foi criado com o objetivo de facilitar seus estudos e ajudar na resolução de exercícios de função quadrática. Continue praticando e bons estudos!