Como Fazer Fração Geratriz: Guia Completo para Entender o Tema

A matemática é uma área que desperta curiosidade e ao mesmo tempo desafios para muitos estudantes. Entre os diversos tópicos que compõem o currículo, as frações geratrizes desempenham um papel fundamental na compreensão de números racionais e decimais periódicos. Saber como fazer fração geratriz é essencial para resolver problemas que envolvem expressões algébricas, números decimais recorrentes e funções matemáticas.

Este guia completo tem como objetivo explicar de forma clara e detalhada como fazer fração geratriz, abordando conceitos básicos, exemplos práticos, dicas essenciais e questões frequentes. Ao final, você estará mais preparado para aplicar esse conhecimento em exercícios acadêmicos e situações do cotidiano.

O que é uma Fração Geratriz?

Antes de aprender como fazer uma fração geratriz, é importante entender o conceito.

Definição

Uma fração geratriz de um decimal periódico é aquela fração que, ao ser reduzida, resulta no número decimal que possui uma parte periódica, ou seja, uma sequência de dígitos que se repete infinitamente. Essa fração representa de forma exata esse decimal periódico.

Por exemplo, para o decimal periódico 0,333..., a fração geratriz é 1/3.

Importância do Tema

Entender e fazer frações geratrizes é fundamental para decifrar números decimais recorrentes, que aparecem frequentemente em problemas de álgebra, análise de séries e diversos aspectos da matemática avançada.

Como Fazer Fração Geratriz: Passo a Passo

Vamos detalhar um método sistemático para encontrar a fração geratriz de um decimal periódico.

Passo 1: Identificar o decimal periódico

Primeiro, analise o número decimal e identifique qual parte é periódica e qual não é.

Exemplo: Considere o decimal 0,727272...

• Parte não periódica (antes da repetição): nenhuma
• Parte periódica: 72

Passo 2: Representar a variável

Vamos denominar o decimal periódico como uma variável ( x ).

Exemplo: ( x = 0,727272... )

Passo 3: Multiplicar para eliminar o período

Para isolar a parte periódica, multiplicamos o ( x ) por uma potência de 10 que "alinha" a repetição.

• Se o período for de ( n ) dígitos, multiplicamos por ( 10^n ).

No exemplo, o período tem 2 dígitos ("72"), então multiplicamos por ( 10^2 = 100 ):

[100x = 72,727272...]

Passo 4: Subtrair para eliminar a parte periódica

Subtraímos a equação original de uma multiplicação por uma potência de 10 que cause o cancelamento do decimal periódico.

• Como os dígitos após a vírgula se repetem, subtraímos as duas expressões:

[100x - x = 72,727272... - 0,727272...]

[99x = 72]

Passo 5: Resolver para ( x )

Finalmente, dividimos ambos os lados por 99 para encontrar a fração geratriz:

[x = \frac{72}{99}]

Poderíamos simplificar a fração:

[x = \frac{8}{11}]

Assim, a fração geratriz de 0,727272... é 8/11.

Exemplos Práticos

Exemplo 1: Decimal periódico simples

Decimal: 0,555...

Solução:

• ( x = 0,555... )
• Período de 1 dígito ("5"), então multiplicamos por 10:

[10x = 5,555...]

• Subtraímos:

[10x - x = 5,555... - 0,555... \Rightarrow 9x = 5]

• Solução:

[x = \frac{5}{9}]

Exemplo 2: Decimal com parte não periódica e parte periódica

Decimal: 0,16(3), ou seja, 0,163333...

Solução:

• ( x = 0,163333... )
• Período de 1 dígito ("3") após a parte não periódica.

Para lidar com esse decimal, seguimos os passos:

• Separar a parte não periódica:

[x = 0,16 + 0,003333...]

• Encontrar a fração de ( 0,003333... ):

• Let ( y = 0,003333... )

• Como são 3 dígitos após a vírgula até chegar à repetição, multiplicamos por 1000:

[1000y = 3,333...]

• Subtraímos:

[1000y - y = 3,333... - 0,003333... \Rightarrow 999y = 3]

• Logo,

[y = \frac{3}{999} = \frac{1}{333}]

• A fração de ( 0,16 ) é ( \frac{16}{100} = \frac{4}{25} ).

• Assim, a fração de ( x ) é:

[x = \frac{4}{25} + \frac{1}{333}]

Para somar, colocamos em denominadores comuns:

[x = \frac{4 \times 1332}{25 \times 1332} + \frac{1 \times 75}{333 \times 75}]

Calculando:

[x = \frac{4 \times 1332}{33300} + \frac{75}{33300} = \frac{5328 + 75}{33300} = \frac{5403}{33300}]

Fatorando e simplificando, encontramos fração equivalente.

Dica importante: para facilitar, recomendo utilizar uma calculadora de frações ao final para simplificar ao máximo.

Tabela de Exemplos de Frações Geratrizes

Dicas Importantes para Fazer Fração Geratriz

• Sempre identifique o período e a parte não periódica do decimal.
• Multiplique por uma potência de 10 adequada ao número de dígitos no período.
• Subtraia as expressões para eliminar o decimal periódico.
• Simplifique a fração ao final, usando o máximo divisor comum (MDC).

Perguntas Frequentes (FAQs)

Como faço para descobrir se um decimal é periódico?

Observe se a sequência de dígitos após a vírgula se repete infinitamente. Decimais periódicos podem ser de dois tipos:

• Periódico puro: toda a parte decimal é repetida, sem uma parte não periódica antes.
• Periódico misto: há uma parte não periódica antes da repetição começar.

É sempre possível representar qualquer decimal periódico por uma fração?

Sim. Todo decimal periódico pode ser convertido em uma fração. Decimais irracionais, por outro lado, não podem.

Como simplificar a fração geratriz?

Utilize o máximo divisor comum (MDC) entre o numerador e o denominador para simplificar a fração ao máximo.

Existe uma regra para números decimais periódicos mistos?

Sim, para números decimais com parte não periódica e parte periódica, a fórmula envolve separar as partes e fazer as operações de subtração, como mostrado no exemplo.

Conclusão

Aprender como fazer fração geratriz é uma habilidade fundamental na matemática, que auxilia na compreensão de números racionais e na resolução de problemas envolvendo decimais periódicos. Com prática, você será capaz de transformar qualquer decimal periódico em uma fração simplificada, facilitando cálculos e análises matemáticas.

Lembre-se de seguir os passos cuidadosamente, identificar o período corretamente e sempre simplificar a fração final. Como disse o matemático Euclides, "A simplicidade é o último grau de sofisticação." Portanto, dominar essa técnica traz simplicidade e precisão aos seus estudos.

Referências

• Wikipedia: Decimal periódico
• Khan Academy: Frações e decimais periódicos

Seja persistente na prática, e em breve você dominará como fazer fração geratriz de qualquer decimal periódico!